Funkcję określoną wzorem y = ax + b, gdzie a i b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi nazywamy funkcją liniową.
Liczbę a nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej, liczbę b wyrazem wolnym.
Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczywistych.
Wykresem funkcji liniowej jest prosta.
Aby narysować tę prostą, wystarczy znaleźć dwa dowolne jej punkty.
Przykład
Narysuj wykres funkcji y = 2x - 1.
Wiemy, że wykresem funkcji liniowej jest prosta. Zatem dla sporządzenia wykresu wystarczy znaleźć dwa punkty należące do tej prostej.
W tym celu do wzoru funkcji y = 2x - 1 podstawiamy za x np. liczby 0 oraz 1 (argumenty x dobieramy tak, aby obliczenia były jak najprostsze).
Liczbę a nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej, liczbę b wyrazem wolnym.
Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczywistych.
Wykresem funkcji liniowej jest prosta.
Aby narysować tę prostą, wystarczy znaleźć dwa dowolne jej punkty.
Przykład
Narysuj wykres funkcji y = 2x - 1.
Wiemy, że wykresem funkcji liniowej jest prosta. Zatem dla sporządzenia wykresu wystarczy znaleźć dwa punkty należące do tej prostej.
W tym celu do wzoru funkcji y = 2x - 1 podstawiamy za x np. liczby 0 oraz 1 (argumenty x dobieramy tak, aby obliczenia były jak najprostsze).
Zadanie 1
W jednym układzie współrzędnych narysuj wykresy funkcji:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Zadanie 2
Narysuj w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Zadanie 3
Napisz wzór funkcji, której wykresem jest prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych i punkt:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Zadanie 4
Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez początek układu współrzędnych i jest równoległy do wykresu funkcji:
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
Zadanie 5
Dana jest funkcja y = 2x - 3
a) oblicz wartość funkcji dla argumentu x = 4
b) znajdź argument, dla którego wartość funkcji wynosi -5
c) oblicz miejsce zerowe funkcji
d) narysuj wykres funkcji
e) podaj współrzędne punktów, w których wykres funkcji przecina osie układu współrzędnych
f) sprawdź, czy punkty A = (-2, -7), B = (2, 3) należą do wykresu funkcji
g) czy funkcja jest rosnąca, malejąca czy stała?
a) oblicz wartość funkcji dla argumentu x = 4
b) znajdź argument, dla którego wartość funkcji wynosi -5
c) oblicz miejsce zerowe funkcji
d) narysuj wykres funkcji
e) podaj współrzędne punktów, w których wykres funkcji przecina osie układu współrzędnych
f) sprawdź, czy punkty A = (-2, -7), B = (2, 3) należą do wykresu funkcji
g) czy funkcja jest rosnąca, malejąca czy stała?
Zadanie 6
Dana jest funkcja y = -3x + 2
a) narysuj wykres funkcji
b) oblicz jej miejsca zerowe
c) jaka jest wartość funkcji dla argumentu x = -1
d) dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje wartość 5
e) podaj współrzędne punktów przecięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych
f) czy funkcja jest malejąca, rosnąca czy stała?
Rozwiązanie:
a) narysuj wykres funkcji
b) oblicz jej miejsca zerowe
c) jaka jest wartość funkcji dla argumentu x = -1
d) dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje wartość 5
e) podaj współrzędne punktów przecięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych
f) czy funkcja jest malejąca, rosnąca czy stała?
Rozwiązanie:
Zadanie 7
Dana jest funkcja y = x + 3. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie, a dla jakich ujemne?
Rozwiązanie: Problem ten można rozwiązać dwoma sposobami:
Z wykresu funkcji odczytujemy, że dla argumentów x > -3 funkcja przyjmuje wartości dodatnie (wykres leży nad osią x, współrzędne y tej części wykresu są dodatnie). Zapisujemy:
y > 0 dla x > -3
np. dla x = 2, y = 5 > 0
Dla tych argumentów, dla których wykres leży pod osią X, funkcja przyjmuje wartości ujemne (współrzędne y punktów wykresu są ujemne).
Zapisujemy:
y < 0 dla x < -3
np. dla x = -7, y = -4 < 0
Odp.: Funkcja przyjmuje wartości dodatnie (y > 0) dla x > -3, natomiast wartości ujemne (y < 0) dla x < -3.
Rozwiązanie: Problem ten można rozwiązać dwoma sposobami:
Z wykresu funkcji odczytujemy, że dla argumentów x > -3 funkcja przyjmuje wartości dodatnie (wykres leży nad osią x, współrzędne y tej części wykresu są dodatnie). Zapisujemy:
y > 0 dla x > -3
np. dla x = 2, y = 5 > 0
Dla tych argumentów, dla których wykres leży pod osią X, funkcja przyjmuje wartości ujemne (współrzędne y punktów wykresu są ujemne).
Zapisujemy:
y < 0 dla x < -3
np. dla x = -7, y = -4 < 0
Odp.: Funkcja przyjmuje wartości dodatnie (y > 0) dla x > -3, natomiast wartości ujemne (y < 0) dla x < -3.
Zadanie 8
a) sporządź wykres funkcji
b) oblicz jej miejsce zerowe
c) dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie, a dla jakich ujemne
d) dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości większe od 2
Rozwiązanie:
b) oblicz jej miejsce zerowe
c) dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie, a dla jakich ujemne
d) dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości większe od 2
Rozwiązanie:
Zadanie 9
Dana jest funkcja y = -x + 3:
a) sporządź wykres tej funkcji
b) oblicz jej miejsce zerowe
c) dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie, a dla jakich ujemne.
Rozwiązanie:
Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów mniejszych od 3.
Dla argumentów większych od 3 funkcja przyjmuje wartości ujemne.
a) sporządź wykres tej funkcji
b) oblicz jej miejsce zerowe
c) dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie, a dla jakich ujemne.
Rozwiązanie:
Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów mniejszych od 3.
Dla argumentów większych od 3 funkcja przyjmuje wartości ujemne.
Zadanie 10
Wykres funkcji liniowej przechodzi przez punkt A = (1, 3) i jest równoległy do wykresu funkcji y = 2x - 1:
a) napisz wzór tej funkcji
b) sporządź wykresy obu funkcji.
a) napisz wzór tej funkcji
b) sporządź wykresy obu funkcji.
Zadanie 11
Rozwiązanie:
Odp.: Szukana funkcja wyraża się wzorem y = -3x - 5.
Odp.: Szukana funkcja wyraża się wzorem y = -3x - 5.
Zadanie 12
Rozwiązanie:
Zadanie 13
Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkty
A = (0, 5), B = (1, 2).
Rozwiązanie:
Odp.: Szukana prosta ma wzór: y = -3x + 5.
A = (0, 5), B = (1, 2).
Rozwiązanie:
Odp.: Szukana prosta ma wzór: y = -3x + 5.
Zadanie 14
Funkcja opisana jest wzorem y = -2x + 4.
a) oblicz miejsce zerowe tej funkcji
b) podaj zbiór tych argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości większe od 8
c) sprawdź rachunkowo, czy punkty A = (2, 3), B = (3, -2) należą do wykresu tej funkcji.
Rozwiązanie:
a) oblicz miejsce zerowe tej funkcji
b) podaj zbiór tych argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości większe od 8
c) sprawdź rachunkowo, czy punkty A = (2, 3), B = (3, -2) należą do wykresu tej funkcji.
Rozwiązanie:
Zadanie 15
Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkty
A = (1, 5), B = (-2, -1).
Rozwiązanie:
Odp.: Wzór szukanej funkcji ma postać y = 2x + 3.
A = (1, 5), B = (-2, -1).
Rozwiązanie:
Odp.: Wzór szukanej funkcji ma postać y = 2x + 3.
Zadanie 16
Dana jest funkcja y = - 2x + 3
a) narysuj wykres tej funkcji
b) znajdź jej miejsce zerowe
c) oblicz wartość tej funkcji dla argumentu 4,5
d) znajdź argument, dla którego wartość funkcji wynosi 4,5
e) wyznacz współrzędne punktów przecięcia się tej prostej z osiami układu współrzędnych
f) sprawdź, czy punkt (1, 2) należy do wykresu tej funkcji.
Rozwiązanie:
a) narysuj wykres tej funkcji
b) znajdź jej miejsce zerowe
c) oblicz wartość tej funkcji dla argumentu 4,5
d) znajdź argument, dla którego wartość funkcji wynosi 4,5
e) wyznacz współrzędne punktów przecięcia się tej prostej z osiami układu współrzędnych
f) sprawdź, czy punkt (1, 2) należy do wykresu tej funkcji.
Rozwiązanie:
Zadanie 17
Punkty A = (1, 8) i B = (-4, -2) należą do wykresu funkcji y = ax + b
a) znajdź wzór tej funkcji
b) oblicz pole figury ograniczonej wykresem tej funkcji oraz osiami układu współrzędnych.
Rozwiązanie:
Odp.: Pole trójkąta wynosi 9.
a) znajdź wzór tej funkcji
b) oblicz pole figury ograniczonej wykresem tej funkcji oraz osiami układu współrzędnych.
Rozwiązanie:
Odp.: Pole trójkąta wynosi 9.
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz